1. Le pilier de l'autonomie
Nous nous concentrons principalement sur les systèmes autonomes. Un système dont les fonctions $F$ et $G$ dans les équations (1) ne dépendent pas de la variable indépendante $t$ est dit autonome. Cette indépendance permet d'interpréter les trajectoires comme des chemins permanents dans un plan de phase fixe.
Pour tout système autonome $\mathbf{x}' = \mathbf{f}(\mathbf{x})$, il existe une solution unique satisfaisant $\mathbf{x}(t_0) = \mathbf{x}_0$. Dans le plan de phase, cela garantit que les trajectoires ne se croisent jamais; le chemin est déterminé entièrement par l'état actuel, et non par l'instant où vous y êtes arrivé.
2. Repères linéaires contre réalités non linéaires
Dans les systèmes linéaires $\mathbf{x}' = \mathbf{Ax}$, l'origine est généralement l'équilibre unique, gouverné par le déterminant $q = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$ et la trace. Toutefois, les systèmes non linéaires sont définis par leurs points critiques—des emplacements où le membre de droite est nul. Un grand piège est qu'il peut y avoir plusieurs, voire de nombreux, points critiques qui s'affrontent pour influencer les trajectoires.
Exemple : Le pendule non linéaire
Contrairement au système masse-ressort linéaire où la période est constante, la période $T$ d'un pendule non linéaire dépend de son amplitude, exprimée à l'aide de l'intégrale elliptique :
$$T = 4\sqrt{\frac{L}{g}} \int_{0}^{\pi/2} \frac{d\phi}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2 \phi}}$$
3. Stabilité et la vision de Liapunov
Pour analyser ces points sans résoudre les équations, nous utilisons les fonctions de Liapunov. Soit $V$ définie sur un domaine $D$ contenant l'origine. Alors $V$ est dite positive définie sur $D$ si $V(0, 0) = 0$ et $V(x, y) > 0$ pour tous les autres points de $D$.
Alors que nous passons en 3D, nous rencontrons la matrice de Lorenz :
$$\begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} -10 & 10 & 0 \\ 1 & -1 & -\sqrt{\frac{8}{3}(r-1)} \\ \sqrt{\frac{8}{3}(r-1)} & \sqrt{\frac{8}{3}(r-1)} & -\frac{8}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}$$